IL MUSEO VIRTUALE DEI NUMERI 2
- La difficoltà degli studenti ad argomentare in modo chiaro e completo una determinata tesi
- Produrre esempi e controesempi utili a confermare o a confutare una determinata affermazione
- Riconoscere e risolvere problemi in contesti diversi valutando le informazioni possedute, le loro relazioni con ciò che si vuole determinare e la coerenza e plausibilità del procedimento risolutivo e dei risultati trovati
La matematica è spesso percepita dagli studenti come qualcosa di astratto, non correlato alle loro esperienze e percezioni quotidiane. Per questo motivo, è fondamentale sviluppare nuovi metodi di insegnamento in grado di promuovere l’interesse e la motivazione degli studenti.
Il museo virtuale, dunque, vuole essere un esempio di sperimentazione didattica: la possibilità di realizzare risorse multimediali concepite dagli studenti riguardanti concetti o oggetti matematici offre nuove opportunità per motivare e aumentare l’interesse degli studenti nei confronti di questa disciplina.
I numeri primi hanno sempre esercitato un grande fascino per i matematici e per l’umanità intera. Protagonisti di film e best seller letterari, hanno stimolato la fantasia di milioni di persone. Dall’esigenza di scoprire tutte le proprietà e le caratteristiche di questi numeri così speciali quanto interessanti nasce il Museo dei numeri primi.
Una scalinata introduce la visita interattiva di una grande sala allestita in modo tale da rispondere ad una specifica domanda sui numeri primi. Gli oggetti, corredati da immagini, schede di approfondimento e filmati, si alternano per offrirne una risposta.
STRUTTURA - CONTENUTI
Il modulo ha la durata di 30 h e si articola in 4 fasi.
1. Motivazione e presentazione del contesto e valutazione del livello in ingresso
Numero di ore impiegate: 2
Persone coinvolte: studenti e docenti
2. Unità di apprendimento dell’argomento da parte degli studenti
Numero di ore impiegate: 13
Persone coinvolte: studenti e docenti
Metodologia utilizzata: lezioni frontali, lavoro in gruppo, attività in laboratorio di informatica
3. Realizzazione dell’ambiente virtuale e delle risorse multimediali
Numero di ore impiegate: 10
Persone coinvolte: studenti e docenti
Metodologia utilizzata: lavoro di gruppo, attività in laboratorio di informatica
4. Verifica e valutazione degli apprendimenti e presentazione e divulgazione al pubblico
Numero di ore impiegate: 5
Persone coinvolte: studenti e docenti, comunità scolastica
Fase 1: INPUT
Motivazione e presentazione del contesto agli studenti e alle studentesse coinvolti e verifica dei prerequisiti
L’insegnante presenta ai ragazzi/e gli obiettivi del percorso e il prodotto che essi realizzeranno, ossia la progettazione e l’allestimento del museo virtuale dei numeri primi.
La prima attività del progetto prevede un lavoro di accoglienza in cui mettere a tema la conoscenza reciproca e in cui poter verificare le conoscenze e le abilità già acquisite. L’insegnante propone:
- Un’intervista, utile per capire le abitudini di studio dei ragazzi/e coinvolti, con riferimento in particolare alla matematica e all’uso di strumenti informatici;
- Una gara di matematica, che richiede la partecipazione di tutta la classe ed è finalizzata a una conoscenza simpatica e veloce del livello di “matematizzazione” degli alunni/e attraverso un gioco a squadre.
L’insegnante avrà cura nella scelta delle domande della gara per verificare l’acquisizione dei prerequisiti necessari per lo svolgimento dell’argomento: operazioni elementari con i numeri naturali, conoscenza dei concetti di multiplo e divisore di un numero, criteri di divisibilità.
Al termine delle attività, l’insegnante mostra degli esempi di musei virtuali online dedicati ad esempio ad una mostra di opere d’arte attraverso l’uso della LIM. I ragazzi si avvicendano alla LIM ed effettuano osservazioni sia sulle opere esposte sia sull’allestimento museale e prendono appunti sulla base di una semplice grigia di analisi predisposta dall’insegnante.
FASE 2: ELABORAZIONE DEI CONTENUTI DEL MUSEO
Osservazione preliminare
La fase di elaborazione del lavoro è strutturata in due parti.
La prima fase presenta attività che riguardano la conoscenza dei numeri primi e la scelta di una serie di risorse multimediali in grado di descrivere le principali proprietà e curiosità che riguardano i numeri primi.
La seconda fase presenta un esempio di matematica applicata alla tecnologia, la crittografia. Anche se i nuovi orizzonti della crittografia richiedono conoscenze matematiche sempre più avanzate, la crittografia analizzata in questa attività e la matematica utilizzata in essa possono essere comprese anche da studenti del primo biennio di una scuola secondaria superiore, anche con qualche riferimento storico.
Primo step
In questo primo step, l’insegnante alterna lezioni frontali, necessarie ma comunque brevi, ad attività di gruppo che consentono di applicare e utilizzare le conoscenze e le abilità apprese nel contesto formativo e, dunque, funzionali alla realizzazione della collezione multimediale del museo.
Le lezioni frontali hanno l’obiettivo di offrire agli alunni la definizione di numeri primi e i principali teoremi: il Teorema fondamentale dell’aritmetica e il Teorema di Euclide per evidenziare da subito l’importanza del ruolo che essi assumono all’interno della teoria dei numeri. In particolare, la dimostrazione sull’esistenza di infiniti numeri primi offre anche lo spunto per riflettere sul concetto di dimostrazione matematica. Inoltre, poiché i ragazzi già conoscono i concetti proposti, questa fase vuole essere soprattutto un’occasione per curare e approfondire il linguaggio formale della matematica.
Le attività di gruppo previste, invece, hanno come finalità didattiche di potenziare la capacità di ragionamento logico attraverso la dimensione della ricerca e della scoperta e offrire una visione, anche se elementare, degli sviluppi della matematica moderna. L’insegnante invita i ragazzi a riflettere sulle “domande dei numeri primi”, consegnando loro una scheda di attività guidata che prevede prima lo svolgimento di semplici procedimenti algoritmici e, successivamente, momenti di ricerca e di riflessione.
1. Come posso ottenere tutti i numeri primi?
Attività. Un setaccio per i numeri primi: Il Crivello di Eratostene.
L’insegnante propone il criterio che agisce esattamente come un setaccio, eliminando progressivamente numeri fino a restare con la serie di numeri primi e richiede l’applicazione del metodo al seguente esercizio: ricavare i numeri primi minori o uguali di un qualsiasi intero N in un numero finito di passaggi.
Al termina dell’attività, l’insegnante promuove una discussione ponendo una serie di domande per favorire una riflessione sul procedimento e il significato di quanto è stato appena svolto:
- L’algoritmo procede per eliminazione attraverso un raffinato processo di selezione dei multipli, quando termina l’algoritmo?
- Perché il Crivello di Eratostene funziona?
L’attività termina con la presentazione, da parte dell’insegnante, di una lista completa di tutti i numeri primi minori di 1000 per introdurre la domanda successiva.
2. Esiste una formula che permette di determinare i numeri primi?
L’insegnante propone agli studenti dei metodi per costruire una successione infinita di numeri primi evidenziandone i limiti di ciascuno. L’attività inizia con il metodo che si ricava dalla dimostrazione del Teorema di Euclide e prosegue poi, con i numeri di Mersenne.
3. Congetture sui numeri primi.
Per far comprendere agli studenti che vi sono molte questioni ancora aperte, quindi congetture e non teoremi, riguardanti i numeri primi, l’insegnante propone diversi esempi e spunti di riflessione. Le attività proposte possono riguardare, ad esempio,
- La congettura relativa ai numeri primi gemelli. La scoperta di questi numeri particolari può iniziare dalla presentazione della loro definizione, a partire dalla lettura di una parte di testo tratto dal libro “La solitudine dei numeri primi” e proseguire, successivamente, con l’analisi di aspetti ad essi legati: ad es. i numeri primi gemelli sono infiniti?
- La “Congettura di Goldbach”: ogni numero pari maggiore di due è la somma di due numeri primi. Essa rappresenta ancora oggi un problema aperto e nessuno riesce e dimostrarla. Esercizio: verificare la congettura di Goldbach per i numeri pari fino a 100.
Eventuali proposte di ricerca: trovare altre congetture sui numeri primi (la congettura di Schnzel e di Chen, che discendono dalla congettura di Goldbach) oppure ricercare problemi che sono tutt’oggi ancora aperti.
L’attività di gruppo, così come è proposta, dovrebbe favorire una ricerca e un confronto fra i risultati più motivanti ed efficaci. Alcuni punti ritenuti di particolare interesse possono essere ripresi in un dibattito aperto con l’intera classe, in modo che il docente attui il monitoraggio insieme agli alunni del loro percorso di apprendimento e dei processi cognitivi coinvolti. Al termine, è previsto un momento di sintesi, formalizzazione e schematizzazione.
Secondo step: La crittografia e i numeri primi
L’attività proposta inizia con le più semplici tecniche di crittografia usate per scrivere dei messaggi segreti. Rendere segreto un messaggio, vuol dire associare un numero a ciascun carattere del messaggio. Quando il testo è tradotto in numeri, si possono applicare trasformazioni numeriche che lo rendano segreto e che ne consentano la lettura solo a chi possiede la chiave.
Le attività descritte mostrano alcuni aspetti dell’algebra modulare, le congruenze, che non sono affrontate dagli studenti del primo biennio di un istituto professionale. Non è tuttavia necessario affrontare in modo formale le congruenze e le classi di resto, poiché l’insegnante può guidare gli alunni nel superamento dell’argomento attraverso un’aritmetica inusuale, “l’aritmetica dell’orologio”, e alcune semplici riflessioni.
Le attività proposte riguardano esempi di cifratura a chiave simmetrica e a chiave asimmetrica.
Prima attività: Esempi di cifratura a chiave simmetrica
L’attività si svolge in piccoli gruppi. La traccia di lavoro può essere comunicata alla lavagna o con una scheda e articolata come segue:
Mapping e applicazione. Il metodo per criptare un messaggio consiste nel sostituire i caratteri del messaggio con altri traslando la posizione del carattere nell’alfabeto di un numero fisso (la chiave).
Storicamente, è possibile fare riferimento al famoso cifrario di Giulio Cesare. Il sistema utilizzato dal grande condottiero consiste in una semplice traslazione di tutte le lettere dell’alfabeto di un numero prestabilito di posizioni, che costituisce la chiave. Per esempio, se la chiave fosse 5, ogni singola lettera dell’alfabeto non cifrato verrebbe trasposta nella quinta che la segue, e le ultime lettere verrebbero sostituite dalle prime. Provate a cifrare il seguente messaggio con la chiave sopra indicata: “Esistono infiniti numeri primi”.
E’ possibile proporre un’applicazione pratica dell’attività, ad esempio richiedere la costruzione dei dischi che consentono l’esecuzione concreta della codifica.
Transfer. Il metodo utilizzato vi ricorda qualcosa? Gli alunni sono chiamati ad applicare il modello precedentemente studiato, abbozzando una prima, semplice generalizzazione di nuove regole.
Problema. Nel Vecchio Testamento si trovano tre principali scritture segrete: l’Atbash, l’Albam e l’Atbah. Proponiamo di seguito tre esempi pratici di questi codici. Attraverso il materiale proposto e un’attività di ricerca, illustrare i metodi utilizzati dai tre codici e specificare la chiave utilizzata.
Ricostruzione. Gli studenti sono richiamati a rivedere gli argomenti studiati sotto una nuova ottica permettendo loro di organizzare consapevolmente le proprie conoscenze, uscendo dalla trappola di eventuali, inconsapevoli automatismi. Problemi:
1. Costruire un algoritmo o realizzare un foglio di calcolo per la cifratura di Giulio Cesare. (Tradurre l’algoritmo prodotto in un linguaggio di programmazione a scelta.)
2. Problema: Metodi a confronto. Il metodo di cifratura consiste nel permutare i caratteri del messaggio. Il primo riferimento storico risale al V secolo a.C., più precisamente alla guerra tra Sparta e la Persia. Mittente e destinatario facevano uso di due scitali perfettamente uguali. Il mittente avvolgeva a spirale un sottile nastro di pergamena, intorno alla sua scitala e scriveva il messaggio. Quando la pergamena veniva srotolata il testo del messaggio appariva privo di senso e riacquistava significato solo se riavvolta intorno alla scitala gemella che era posseduta solo dal legittimo destinatario. Quali vantaggi presenta rispetto al metodo precedente?
Generalizzazione. Gli alunni sono chiamati a uscire dal contesto classico “dato un problema, trovare la soluzione” e ad applicare lo strumento studiato in nuove situazioni, proiettando i modelli e le conoscenze per spenderli adeguatamente. Attività creativa: crea il tuo cifrario alfabetico. (Suggerimento: prova a mescolare l’alfabeto prima di creare il cambiamento.)
Seconda attività: Il funzionamento di Enigma
L’attività si articola in due fasi: la prima propone la visione del film “Enigma” e la seconda fase prevede un’attività di ricerca sul funzionamento di Enigma, una macchina molto simile ad una macchina da scrivere, risalente alla seconda Guerra Mondiale e utilizzata dalle forze armate tedesche.
Motivazioni: istituti tecnici professionali, l’uso di macchine
Terza attività: Esempi di cifratura a chiave asimmetrica
I punti deboli evidenziati dai metodi appena descritti ha fatto sì che nel corso dei secoli venissero elaborati metodi crittografici sempre più sofisticati e difficili da scoprire. L’insegnante, dunque, propone la seconda attività.
L’attività propone uno degli algoritmi asimmetrici più conosciuti, l’algoritmo RSA (Rivest-Shamir-Adleman). In questo algoritmo sono presenti due chiavi, una segreta e una pubblica: chiunque può adottare la chiave pubblica per criptare un messaggio, ma solo il proprietario sarà in grado di leggerne il contenuto. Le due chiavi possono essere ricavate l’una dall’altra, ma l’algoritmo RSA garantisce che l’operazione di derivare la chiave segreta da quella pubblica è troppo complessa per poter essere eseguita in pratica, anche su un calcolatore molto potente. L’algoritmo RSA sfrutta il fatto che è facile calcolare il prodotto di due numeri primi anche molto grandi, ma dato un numero è molto più difficile scomporlo nel prodotto di numeri primi.
Breve descrizione dell’attività:
Mapping. L’insegnante propone un esempio pratico per chiarire l’idea su cui si basa l’algoritmo RSA, elencando in maniera chiara e schematizzata la sequenza delle operazioni da eseguire.
Applicazione e Transfer. L’attività propone ai ragazzi di applicare ad un esempio pratico quanto hanno appreso in linea teorica in precedenza. Problema: Illustra i passaggi dell’algoritmo RSA sostituendo ai due numeri primi dei valori qualsiasi (Attenzione: non utilizzare valori particolarmente grandi per non complicare troppo il calcolo).
Ricostruzione e generalizzazione. L’attività richiede agli studenti di riflettere, valutare, proiettare, scegliere e immaginare su quanto appreso finora.
- Problema 1. La firma digitale è basata sulla tecnologia della crittografia a chiavi asimmetriche. Descrivi in maniera dettagliata il funzionamento di tale sistema di autenticazione di documenti digitali, mettendo in evidenza l’uso e l’importanza del modello di crittografia considerato.
- Problema 2. Ricerca applicazioni della vita reale che fanno uso della crittografia a chiave asimmetrica.
Al termine di ciascuna delle tre attività, i ragazzi interagiscono effettuando un brainstorming, presentando ciascuno il proprio lavoro e proseguendo la panificazione dei lavori attraverso la scelta delle risorse multimediali da realizzare.
FASE 3: OUTPUT E FEEDBACK FORNITI
Nella terza fase è importante valorizzare sempre gli apprendimenti collaborativi e i prodotti creati nell’attività di laboratorio. Sperimentazioni laboratoriali e condivisioni progettuali all’interno della scuola non solo promuovono l’autostima personale ma consolidano anche l’appartenenza sociale positiva a un gruppo.
La comunità scolastica può ammirare il Museo virtuale dei numeri primi attraverso la sua pubblicazione sul sito Internet della scuola.
OBIETTIVI DIDATTICI E FORMATIVI
Obiettivi generali
- Migliorare l’apprendimento di studenti con difficoltà di apprendimento
- Mostrare che fare matematica non vuol dire solo acquisire abilità di calcolo ma porsi un problema e provare a risolverlo con un metodo logico-deduttivo (oppure Sviluppare modelli matematici di pensiero (pensiero logico))
- Abituarsi a lavorare secondo un approccio di problem solving
- Migliorare la capacità di lavorare in team
- Migliorare la capacità di analisi e sintesi delle informazioni (oppure Migliorare le competenze digitali)
- Aumentare il coinvolgimento e la partecipazione delle famiglie presenti sul territorio attraverso specifiche iniziative di divulgazioni culturali e scientifiche
Obiettivi specifici di apprendimento
- Approfondire la conoscenza dei numeri primi.
- Percepire la matematica come un prodotto del pensiero umano che evolve nel tempo.
- Comprensione dei procedimenti argomentativi e dimostrativi del pensiero matematico
- Comprendere e conoscere le modalità di ricerca efficiente ed efficace delle informazioni su Internet (Information Literacy)
In linea con le Indicazioni nazionali per i licei, gli obiettivi specifici di apprendimento del primo biennio espressi in termini di conoscenze e abilità sono:
Conoscenze:
- Fare calcoli (mentali, con carta e penna, mediante strumenti) con i numeri e conoscere le proprietà delle operazioni
- Eseguire calcoli con le espressioni letterali sia per rappresentare un problema e risolverlo, sia per dimostrare risultati generali, in particolare in aritmetica
- Ottenere informazioni e ricavare le soluzioni di un modello matematico di fenomeni, anche in contesti di ricerca
In riferimento, invece, alle Linee guida per gli Istituti Tecnici e Professionali, primo biennio, si esprimono nel seguente modo:
Conoscenze:
- Numeri. Operazioni con i numeri e loro proprietà
- Espressioni letterali e polinomi
Abilità:
- Padroneggiare l’uso della lettera come mero simbolo e come variabile
- Risolvere problemi che implicano l’uso di espressioni letterali, collegati con altre discipline e situazioni di vita ordinaria, come primo passo verso la modellizzazione matematica
METODOLOGIE
- Il museo virtuale è un progetto innovativo che trova la sua collocazione all’interno di Internet. Raccoglie collezioni di “opere” (o risorse?) che possono essere rappresentate da video, immagini, grafici, modelli 3D, animazioni e tutti gli oggetti multimediali che si possono creare. Esso, dunque, intende porsi come strumento per potenziare le funzioni di didattica, di esposizione, di divulgazione e di ricerca. L’innovatività consiste, oltre che nell’unire le nuove tecnologie con la ricerca, nel presentare nel loro contesto originario il sapere, le curiosità e gli oggetti appartenenti a epoche passate con simulazioni digitali realistiche. Le scelte metodologiche, dunque, si avvalgono della didattica laboratoriale come modalità di azione che integra elementi teorici e operativi per una scuola che diventa luogo di esperienze concrete in cui si favorisce l’apprendimento attraverso la logica della scoperta.
- Metodologie didattiche innovative e diversificate al fine di promuovere un apprendimento attivo, stimolando la curiosità e la creatività dei ragazzi/e, la collaborazione reciproca e la motivazione all’apprendere, sempre più carenti soprattutto negli studenti con maggiori difficoltà di apprendimento e/o provenienti da contesti caratterizzati da disagio socioculturale.
- Ripensamento degli spazi all’interno dell’aula. L’aula si trasforma in un laboratorio.
- Metodologia del Project work: il museo virtuale rappresenta un progetto professionale realizzato in aula dagli alunni. L’obiettivo è consolidare negli allievi competenze integrate e favorire la professionalizzazione, intesa come competenza spendibile in un contesto di lavoro futuro.
- Learning by doing (apprendimento attraverso il fare, attraverso l’operare, attraverso le azioni), metodologia scelta perché ideale per il raggiungimento di un obiettivo in grado di motivare lo studente e indurlo a mettere in gioco le sue conoscenze pregresse creando una situazione funzionale all’integrazione delle nuove competenze. La principale finalità di questa metodologia è migliorare la strategia per imparare, dove l’imparare non è il memorizzare, ma anche e soprattutto il comprendere.
- Didattica laboratoriale e apprendimento per scoperta. In particolare, la parte laboratoriale (esempi di cifratura a chiave simmetrica) prevede attività di: applicazione, transfer, ricostruzione e generalizzazione. L’insegnante propone una serie di domande da svolgersi insieme in classe in cui rilancia alcune parti teoriche in forma di problema e guida gli alunni alla soluzione sollecitandoli nel modo corretto, offrendo cioè i suggerimenti minimi e lasciando che il gruppo classe raggiunga in modo parzialmente autonomo la soluzione.
- Cooperative learning. I gruppi devono essere eterogenei per garantire diverse abilità e competenze all’interno di ognuno. Possono essere definiti dei ruoli all’interno dei gruppi che scaturiranno man mano e ci saranno alunni che se assumeranno più di uno: chi reperisce e organizza il materiale, chi consulta i testi e redige la scheda dei contenuti, chi cura il museo virtuale, chi cura i rapporti con l’esterno. I distinti gruppi svolgeranno contemporaneamente tutte le attività proposte. Fondamentale sarà, per evitare doppioni fra gruppi, accordarsi reciprocamente sulle risorse digitali da realizzare. Per raccordare le attività e gestire la pianificazione dei lavori si ricorre all’uso di una bacheca virtuale: ogni gruppo si ritaglia un proprio spazio, ben identificabile, utilizzando colori distinti per ciascuno.
RISULTATI ATTESI
- Gli studenti sono chiamati a uscire dal contesto classico dell’Aritmetica e ad applicare lo strumento studiato in nuove situazioni, proiettando i modelli e le conoscenze per spenderli adeguatamente. Il risultato più significativo, esito di questo modulo di intervento, è essenzialmente metacognitivo, e consiste nella consapevolezza che l’argomento trattato rappresenti concetti fondamentali che sono alla base di innumerevoli applicazioni in diversi campi delle attività umane, dall’arte all’informatica.
- Analisi-studio del potenziale applicativo della tecnologia derivante dalla realizzazione di un museo virtuale alla didattica della matematica, affrontando i principali problemi dei ragazzi con difficoltà di apprendimento, in termini di mancanza di attenzione e di basso livello di coinvolgimento;
- Buone pratiche per la costruzione di un team (interdisciplinare) di docenti per una didattica innovativa che impieghi lo strumento del museo virtuale come modello di insegnamento/apprendimento. I docenti in questo modo saranno guidati verso nuovi approcci didattici e saranno invitati a progettare diverse possibili applicazioni nello sviluppo di ulteriori argomenti.
- Divulgazione della cultura di carattere scientifico e coinvolgimento del territorio attraverso l’uso di tecnologie multimediali fruibili dal sito internet della scuola
Ripetibilità: Un’esperienza didattica come quella appena descritta può essere ampliata e applicata con successo anche nell’approccio di altri argomenti della disciplina.
MODALITA’ DI VALUTAZIONE DELL’ESPERIENZA E MONITORAGGIO
Il valore primario delle diverse metodologie utilizzate è rappresentato dai ricchi spunti metacognitivi stimolati dalle diverse attività proposte. E’ fondamentale, dunque, effettuare un’attenta valutazione dei processi nel quali si articola l’intero modulo piuttosto che dei soli esiti finali.
Vi sono quattro momenti chiave per attivare il monitoraggio e la valutazione:
1. Il primo corrisponde alla fase di Input, dove la lezione, seppur svolta in modo interattivo, è guidata esplicitamente dall’insegnante. La qualità degli interventi fatti dagli alunni, e anche l’analisi a posteriori degli appunti personali scritti, sono un ottimo punto di partenza.
2. Il secondo momento di valutazione avviene nella fase di Elaborazione, ed è basato sull’analisi delle schede attività frutto di un lavoro di team e dall’opera artistica finale esposta.
3. Il terzo momento di autovalutazione è costituito dal questionario di gradimento, mediante il quale possiamo indagare esplicitamente su:
le dinamiche relazionali dei piccoli gruppi;
l’impatto e il rafforzo positivo della condivisione dei prodotti finali con la classe e in generale con l’intera comunità scolastica;
l’efficacia delle metodologie didattiche e strategie inclusive messe in campo
4. Il momento conclusivo di verifica degli apprendimenti si svolgerà attraverso una verifica che coinvolge le competenze consolidate durante l’intera attività laboratoriale. La verifica finale prevede:
- Una presentazione del prodotto finale in cui ogni alunno dei singoli gruppi, a turno presenta gli asset realizzati; gli alunni concordano tra loro la suddivisione degli argomenti.
- La prova comune di matematica finalizzata alla verifica del rafforzamento delle competenze di base.
Le valutazioni avvengono attraverso una rubrica di valutazione predisposta dall’insegnante.